Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

ex

（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）已知函數(shù)y=g（x）對任意x滿足g（x）=f（4-x），證明：當x＞2時，f（x）＞g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＞4．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求得即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷且單調(diào)性得h（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，故h（x）＞h（2）=0，即可得證；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．

解答： 解：f（x）=

x-1

ex

（x∈R）
（1）f'（x）=

ex-(x-1)ex

e2x

=

2-x

ex

∴x＜2時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x＞2時f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（x）的極大值=f（2）=

1

e2

．
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=

x-1

ex

-

3-x

e4-x

，
則h'（x）=

2-x

ex

+

x-2

e4-x

=

(x-2)(ex-e4-x)

e4

，
當x＞2時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（2）=0，
∴f（x）＞g（x）．
（3）由（1），不妨設(shè)x₁＜2＜x₂，則4-x₂＜2，
∴由（2）得f（x₁）=f（x₂）＞f（4-x₂），
又由（1）得，x＜2時，f（x）單調(diào)遞增，
∴x₁＞4-x₂，
∴x₁+x₂＞4．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值最值的知識，以及通過構(gòu)造函數(shù)證明不等式成立問題，屬難題．