Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，an=

1+2a n 2 n為偶數(shù) 1 2 +2a n-1 2 n為奇數(shù)

，n=2，3，4，…．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）設(shè)bn=a2n-1+1，n=1，2，3…，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）對(duì)任意的m≥2，m∈N^*，在數(shù)列{a_n}中是否存在連續(xù)的2^m項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出這2^m項(xiàng)，并證明這2^m項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件可知a₂=1+2a₁=3，a3=

1

2

+2a1=

5

2

，a₄=1+2a₂=7，a5=

1

2

+2a2=

13

2

．
（Ⅱ）由題意知bn+1=a2n+1，又a2n+1=(2a

2n

2

+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn，所以b_n+1=2b_n．再由b1=a21-1+1=a1+1=2可知b_n=2ⁿ．
（Ⅲ）對(duì)任意的m≥2，k∈N^*，在數(shù)列{a_n}中，a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1這連續(xù)的2^m項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．再用分析法進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閍₁=1，所以a₂=1+2a₁=3，a3=

1

2

+2a1=

5

2

，a₄=1+2a₂=7，a5=

1

2

+2a2=

13

2

（3分）
（Ⅱ）由題意，對(duì)于任意的正整數(shù)n，bn=a2n-1+1，
所以bn+1=a2n+1（4分）
又a2n+1=(2a

2n

2

+1)+1=2(a2n-1+1)=2bn
所以b_n+1=2b_n（6分）
又b1=a21-1+1=a1+1=2（7分）
所以{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以b_n=2ⁿ（8分）
（Ⅲ）存在．事實(shí)上，對(duì)任意的m≥2，k∈N^*，在數(shù)列{a_n}中，
a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1這連續(xù)的2^m項(xiàng)就構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（10分）
我們先來(lái)證明：
“對(duì)任意的n≥2，n∈N^*，k∈（0，2^n-1），k∈N^*，有a2n-1+k=2n-1-

k

2

”
由（II）得bn=a2n-1+1=2n，所以a2n-1=2n-1．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，a2n-1+k=

1

2

+2a

2n-1+k-1

2

=

1

2

+2a2n-2+

k-1

2

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，a2n-1+k=1+2a

2n-1+k

2

=1+2a2n-2+

k

2

記k1=

k 2 k為偶數(shù) k-1 2 k為奇數(shù)

因此要證a2n-1+k=2n-1-

k

2

，只需證明a2n-2+k1=2n-1-1-

k1

2

，
其中k₁∈（0，2^n-2），k₁∈N^*
（這是因?yàn)槿?span id="3h13rpx" class="MathJye">a2n-2+k1=2n-1-1-

k1

2

，則當(dāng)k1=

k-1

2

時(shí)，則k一定是奇數(shù)，
有a2n-1+k=

1

2

+2a

2n-1+k-1

2

=

1

2

+2a2n-2+

k-1

2

=

1

2

+2(2n-1-1-

k1

2

)=

1

2

+2(2n-1-1-

k-1 2

2

)=2n-1-

k

2

；
當(dāng)k1=

k

2

時(shí)，則k一定是偶數(shù)，有a2n-1+k=1+2a

2n-1+k

2

=1+2a2n-2+

k

2

=1+2(2n-1-1-

k1

2

)=1+2(2n-1-1-

k 2

2

)=2n-1-

k

2

）
如此遞推，要證a2n-2+k1=2n-1-1-

k1

2

，只要證明a2n-3+k2=2n-2-1-

k2

2

，
其中k2=

k1 2 k1為偶數(shù) k1-1 2 k1為奇數(shù)

，k₂∈（0，2^n-3），k₂∈N^*
如此遞推下去，我們只需證明a21+kn-2=22-1-

kn-2

2

，k_n-2∈（0，2¹），k_n-2∈N^*
即a21+1=22-1-

1

2

=3-

1

2

=

5

2

，即a3=

5

2

，由（I）可得，
所以對(duì)n≥2，n∈N^*，k∈（0，2^n-1），k∈N^*，有a2n-1+k=2n-1-

k

2

，
對(duì)任意的m≥2，m∈N^*，a2m+i=2m+1-1-

i

2

，a2m+i+1=2m+1-1-

i+1

2

，
其中i∈（0，2^m-1），i∈N^*，
所以a2m+i+1-a2m+i=-

1

2

又a2m=2m+1-1，a2m+1=2m+1-1-

1

2

，所以a2m+1-a2m=-

1

2

所以a2m，a2m+1，a2m+2，，a2m+2m-1這連續(xù)的2^m項(xiàng)，
是首項(xiàng)為a2m=2m+1-1，公差為-

1

2

的等差數(shù)列（13分）
說(shuō)明：當(dāng)m₂＞m₁（其中m₁≥2，m₁∈N^*，m₂∈N^*）時(shí)，
因?yàn)?span id="phlflbn" class="MathJye">a2m_，a2m_+1，a2m_+2，，a2m_+2m_-1構(gòu)成一個(gè)項(xiàng)數(shù)為2m2的等差數(shù)列，
所以從這個(gè)數(shù)列中任取連續(xù)的2m1項(xiàng)，也是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為2m1，公差為-

1

2

的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．