已知非零向量
a
與
b
滿足
a
+3
b
與7
a
-5
b
互相垂直，
a
-4
b
與7
a
-2
b
互相垂直．求非零向量
a
與
b
的夾角．
分析：由已知條件得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
，化簡可得
b
2=
a
2，即|
b
|=|
a
|，再由 cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
b
2
|
b
|2
=
1
2
，求得非零向量
a
與
b
夾角θ的值．
解答：解：設(shè)非零向量
a
與
b
夾角為θ，則cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
，（3分）
由已知條件得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0
，（5分）
即
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0(1)
7
a
2-30
a
•
b
+  8 
b
2=0(2)
，（7分）
（2）-（1）得23
b
2-46
a
•
b
=0，即
b
2=2
a
•
b
，（9分）
代入（1）可得 
b
2=
a
2，即|
b
|=|
a
|，
所以cosθ=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
b
2
|
b
|2
=
1
2
，而θ∈[0，π]，則有θ=
π
3
．（12分）
點評：本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量夾角公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
AB
與
AC
滿足（
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=-
1
2
，則△ABC為（　�。�
A、等腰非等邊三角形
B、等邊三角形
C、三邊均不相等的三角形
D、直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
AB
與
AC
滿足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
)•
BC
=0，且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
，則△ABC為
 
三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知非零向量
AB
與
AC
滿足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
． 則△ABC為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知非零向量
AB
與
AC
滿足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0且
AB
|
AB
|
•
AC
|
AC
|
=
1
2
． 則△ABC為（　�。�
A．等邊三角形B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形D．三邊均不相等的三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：陜西 題型：單選題

已知非零向量
AB
與
AC
滿足（
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
）•
BC
=0，且
AB
|
AB|
•
AC
|
AC|
=-
1
2
，則△ABC為（　　）
A．等腰非等邊三角形B．等邊三角形
C．三邊均不相等的三角形D．直角三角形

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