求下列函數(shù)的值域和最值:

(1)y=2sinx-1;

(2)y=3sin(3x+)+2;

(3)y=2cos2x+5sinx-4;

(4)y=.

思路分析:利用|sinx|≤1,通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為基本函數(shù).

解:(1)∵-1≤sinx≤1,

∴-2≤2sinx≤2.故-3≤2sinx-1≤1.

當(dāng)x=2kπ+(k∈Z)時(shí),y有最大值1;

當(dāng)x=2kπ-(k∈Z)時(shí),y有最小值-3.值域?yàn)椋?3,1].

(2)u=3x+,則有y=3sinu+2,

∴值域?yàn)椋?1,5].

當(dāng)u=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)時(shí),y有最大值5.

當(dāng)u=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)時(shí),y有最小值-1.

(3)設(shè)sinx=u,則|u|≤1,y=2cos2x+5sinx-4=2-2sin2x+5sinx-4=-2u2+5u-2.①

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在定義域[-1,1]內(nèi)求二次函數(shù)①的值域問(wèn)題.配方,有y=-2(u-)2+,

∵-1≤u≤1,

∴當(dāng)u=-1,即x=2kπ-(k∈Z)時(shí),y有最小值-9;當(dāng)u=1,即x=2kπ+(k∈Z)時(shí),y有最大值1.

∴函數(shù)y的值域?yàn)椋?9,1].

(4)原函數(shù)可化為y=,即y=1-.

∵1≤sinx+2≤3,

≤1,

1≤≤3,-3≤≤-1.

故-2≤1≤0.

∴函數(shù)y的值域?yàn)椋?2,0],并且當(dāng)x=2kπ+時(shí),y=0;當(dāng)x=2kπ-時(shí),y=-2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax2-2
4+2b-b2
x
g(x)=-
1-(x-a)2
(a,b∈R).
(1)當(dāng)b=0時(shí),若f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍;
(2)求滿足下列條件的所有整數(shù)對(duì)(a,b):存在x0,使得f(x0)是f(x)的最大值,g(x0)是g(x)的最小值;
(3)對(duì)滿足(2)中的條件的整數(shù)對(duì)(a,b),奇函數(shù)h(x)的定義域和值域都是區(qū)間[-k,k],且x∈[-k,0]時(shí),h(x)=f(x),求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4,函數(shù)f(x)=[x]叫做“取整函數(shù)”,也叫做高斯(Gauss)函數(shù).這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用.
從函數(shù)f(x)=[x]的定義可以得到下列性質(zhì):x-1<[x]≤x<[x+1];與函數(shù)f(x)=[x]有關(guān)的另一個(gè)函數(shù)是g(x)={x},它的定義是{x}=x-[x],函數(shù)g(x)={x}叫做“取零函數(shù)”,這也是一個(gè)常用函數(shù).
(1)寫(xiě)出f(5.2)的值及g(x)的值域;
(2)若F(n)=f(log2n)(1≤n≤210,n∈N),寫(xiě)出F(x)的解析式;
(3)求F(1)+F(2)+F(3)+…+F(16)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年廣西北海市合浦七中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4,函數(shù)f(x)=[x]叫做“取整函數(shù)”,也叫做高斯(Gauss)函數(shù).這個(gè)函數(shù)在數(shù)學(xué)本身和生產(chǎn)實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用.
從函數(shù)f(x)=[x]的定義可以得到下列性質(zhì):x-1<[x]≤x<[x+1];與函數(shù)f(x)=[x]有關(guān)的另一個(gè)函數(shù)是g(x)={x},它的定義是{x}=x-[x],函數(shù)g(x)={x}叫做“取零函數(shù)”,這也是一個(gè)常用函數(shù).
(1)寫(xiě)出f(5.2)的值及g(x)的值域;
(2)若F(n)=f(log2n)(1≤n≤210,n∈N),寫(xiě)出F(x)的解析式;
(3)求F(1)+F(2)+F(3)+…+F(16)的值.

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求下列函數(shù)的值域和最值:

(1)y=2sinx-1;

(2)y=3sin(3x+)+2;

(3)y=2cos2x+5sinx-4;

(4)y=.

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