Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：
（1）三棱錐P-ABC的體積；
（2）異面直線BC與AD所成的角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)三角形面積公式，算出直角三角形ABC的面積：S_△ABC=，然后根據(jù)PA⊥底面ABC，結(jié)合錐體體積公式，得到三棱錐P-ABC的體積；
（2）取BP中點(diǎn)E，連接AE、DE，在△PBC中，根據(jù)中位線定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其補(bǔ)角）是異面直線BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是銳角，因此，異面直線BC與AD所成的角的大小arccos．
解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，
∴S_△ABC=×2×=
又∵PA⊥底面ABC，PA=2
∴三棱錐P-ABC的體積為：V=×S_△ABC×PA=；
（2）取BP中點(diǎn)E，連接AE、DE，
∵△PBC中，D、E分別為PC、PB中點(diǎn)
∴DE∥BC，所以∠ADE（或其補(bǔ)角）是異面直線BC、AD所成的角．
∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2
∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（銳角）
因此，異面直線BC與AD所成的角的大小arccos．
點(diǎn)評：本題給出一個(gè)特殊的三棱錐，以求體積和異面直線所成角為載體，考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積和異面直線及其所成的角等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．