Question

設f（x）是定義在R上的函數(shù)，?x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），f（-x）=f（x），且當x∈[0，2]時，f（x）=2^x-2，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在區(qū)間（-1，2014]內(nèi)恰有三個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  9

  ，

  1

  5

  ）∪（

  3

  ，

  7

  ）
• B、（0，

  1

  9

  ）∪（

  7

  ，+∞）
• C、（

  1

  9

  ，1）∪（1，

  3

  ）
• D、（

  1

  7

  ，

  1

  3

  ）∪（

  3

  ，

  7

  ）

Answer 1

分析：根據(jù)條件確定函數(shù)的奇偶性和周期性，由g（x）=f（x）-log_a（x+1）=0得f（x）=log_a（x+1），分別作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答：解：由f（2-x）=f（2+x），得到函數(shù)f（x）關(guān)于x=2對稱，
由f（-x）=f（x）得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
且f（2-x）=f（2+x）=f（x-2），
即f（x+4）=f（x），
即函數(shù)的周期是4．
當x∈[-2，0]時，-x∈[0，2]，
此時f（x）=f（-x）=2^-x-2，
由g（x）=f（x）-log_a（x+1）=0得f（x）=log_a（x+1），（a＞0，a≠1）
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

①若a＞1，
當函數(shù)g（x）=log_a（x+1），經(jīng)過點A（2，2）時，兩個圖象有兩個交點，
此時g（2）=log_a3=2，解得a=

3

，
當函數(shù)g（x）=log_a（x+1），經(jīng)過點B（6，2）時，兩個圖象有四個交點，
此時g（6）=log_a7=2，解得a=

7

，此時要使兩個函數(shù)有3個不同的零點，則

3

＜a＜

7

，
②若0＜a＜1，
當函數(shù)g（x）=log_a（x+1），經(jīng)過點C（4，-1）時，兩個圖象有兩個交點，
此時g（4）=log_a5=-1，解得a=

1

5

，
當函數(shù)g（x）=log_a（x+1），經(jīng)過點D（8，-1）時，兩個圖象有四個交點，
此時g（6）=log_a9=-1解得a=

1

9

，此時要使兩個函數(shù)有3個不同的零點，則

1

9

＜a＜

1

5

，
綜上：實數(shù)a的取值范圍是（

1

9

，

1

5

）∪（

3

，

7

），
故選：A．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，利用條件求出函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本數(shù)學思想．