Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，且函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=|f（x）|（x∈[-1，2]）的最小值為1，求函數(shù)g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）由f（x+1）為偶函數(shù)可得f（-x+1）=f（x+1）對(duì)任意x都成立，代入已知函數(shù)解析式可求b
（II）由（I）可得g（x），x∈[-1，2]，而（1）為f（x）的最小值，故考慮討論
①當(dāng)f（1）=c-1＞0時(shí)，g（x）的最小值f（1）=c-1可求c，進(jìn)而可求g（x）的最大值
②若f（1）≤0，f（-1）≥0，函數(shù)f（x）在[-1，2]上至少有一零點(diǎn)，此時(shí)g（x）的最小值0，可求

解答：解：（I）∵f（x+1）為偶函數(shù)
∴f（-x+1）=f（x+1）對(duì)任意x都成立
∵f（x）=x²+bx++c
∴（1-x）²+b（1-x）+c=（1+x）²+b（1+x）+c
整理可得（b+2）x=0對(duì)任意x都成立
∴b=-2
（II）由（I）可得g（x）=|x²-2x+c|=|（x-1）²+c-1|，x∈[-1，2]
①當(dāng)f（1）=c-1＞0即c＞1時(shí)，y=（x-1）²+c-1＞0，則g（x）=x²-2x+c=（x-1）²+c-1＞0，x∈[-1，2]
則g（x）=（x-1）²+c-1的最小值f（1）=c-1=1
∴c=2，此時(shí)g（x）=（x-1）²+1在[-1，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，則g（x）的最大值g（-1）=5
②若f（1）≤0，f（-1）≥0，即-3≤c≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，2]上至少有一零點(diǎn)，此時(shí)g（x）=|f（x）|的最小值0，不合題意
故當(dāng)c＞1時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值g（-1）=5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、偶函數(shù)的定義在求解參數(shù)中的應(yīng)用，試題具有一定的綜合性