已知橢圓C1、拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x3-24
y-2-4
(Ⅰ)求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)請(qǐng)問(wèn)是否存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件:①過(guò)C2的焦點(diǎn)F;②與C1交不同兩點(diǎn)M、N且滿(mǎn)足?若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p≠0),則有,據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知(3,-2)、(4,-4)在拋物線(xiàn)上,易求C2:y2=4x,設(shè)C1,把點(diǎn)(-2,0)()代入得:,由此能夠求出C1方程.
(Ⅱ)容易驗(yàn)證直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),不滿(mǎn)足題意;當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí),假設(shè)存在直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F(1,0),
設(shè)其方程為y=k(x-1),與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2),由消掉y,得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,再由韋達(dá)定理能夠?qū)С龃嬖谥本(xiàn)l滿(mǎn)足條件,且l的方程為:y=2x-2或y=-2x+2.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p≠0),則有,據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知(3,-2)、(4,-4)在拋物線(xiàn)上,易求C2:y2=4x(2分)
設(shè)C1,把點(diǎn)(-2,0)()代入得:
解得
∴C1方程為(5分)
(Ⅱ)容易驗(yàn)證直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),不滿(mǎn)足題意;(6分)
當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí),假設(shè)存在直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F(1,0),
設(shè)其方程為y=k(x-1),與C1的交點(diǎn)坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2
消掉y,得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,(8分)
于是,
y1y2=k(x1-1)×k(x1-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]
②(10分)
,即,得x1x2+y1y2=0(*),
將①、②代入(*)式,得,解得k=±2;(11分)
所以存在直線(xiàn)l滿(mǎn)足條件,且l的方程為:y=2x-2或y=-2x+2.(12分).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的相關(guān)知識(shí),解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1和拋物線(xiàn)C2有公共焦點(diǎn)F(1,0),C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(4,0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C2分別相交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)寫(xiě)出拋物線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若
AM
=
1
2
MB
,求直線(xiàn)l的方程;
(Ⅲ)若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C2上,直線(xiàn)l與橢圓C1有公共點(diǎn),求橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1、拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
   C1  C2
 x  2  
2
 4  3
 y  0  
2
2
 4 -2
3
則C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為
 
、
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江門(mén)二模)已知橢圓C1和拋物線(xiàn)C2有公共焦點(diǎn)F(1,0),C1的中心和C2的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(4,0).
(1)寫(xiě)出拋物線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C2上,直線(xiàn)l與橢圓C1有公共點(diǎn),求橢圓C1C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•中山市三模)已知橢圓C1、拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在x軸上,C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O,從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x 1 -
5
2
2
y -2
2
0 -4
15
5
(Ⅰ)求C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)曲線(xiàn)的C2的焦點(diǎn)B的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C1交于M、N兩點(diǎn),與y軸交于E點(diǎn),若
EM
1
MB
,
EN
2
NB
,求證:λ12為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C1,拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)均在y軸上,C1的中心和C2 的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O,從每條曲線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:
x 0 -1
2
4
y -2
2
1
16
-2 1
(Ⅰ)求分別適合C1,C2的方程的點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)求C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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