如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，N是棱PB的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O．
（1）求證：平面OMN∥平面PAD；
（2）若DM與平面PAC所成角的正切值為2，求PA長(zhǎng)．

【答案】分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，N是棱PB的中點(diǎn)，易得OM∥PA，MN∥BC∥AD，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可得到平面OMN∥平面PAD；
（2）由PA⊥平面ABCD，OM∥PA，可得OM⊥OD，又由OD⊥AC結(jié)合線面垂直的判定定理，可得OD⊥面PAC，則∠DMO即為DM與平面PAC所成的角，根據(jù)DM與平面PAC所成角的正切值為2，解三角形DMO即可得到OM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出PA的長(zhǎng)．
解答：證明：（1）OM∥PA，MN∥BC∥AD，
又∵OM∩MN=M，PA∩AD=A，∴面OMN∥面PAD（7分）
解：（2）PA⊥平面ABCD，∴PA⊥OD，又∵OM∥PA∴OM⊥OD
又OD⊥AC，∴OD⊥面PAC∴∠DMO即為DM與平面PAC所成的角．（11分）
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，平面與平面平行的判定，（1）的關(guān)鍵是熟練掌握平面與平面平行的判定定理，（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造出∠DMO即為DM與平面PAC所成的角，將空間兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

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