Question

若不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

對于任意正實數(shù)x，y總成立的必要不充分條件是k∈[m，+∞），則正整數(shù)m只能取

 

．

Answer 1

分析：將不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

兩邊同除以xy轉(zhuǎn)化為

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

，左邊用基本不等式，求其最小值，再由“不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

對于任意正實數(shù)x，y總成立”得到

1

3k

≤2

xy 108y4x

=

1

108

求得k的范圍，最后由“成立的必要不充分條件是k∈[m，+∞）”，求得正整數(shù)m的取值．

解答：解：不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

兩邊同除以xy得：

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

∵不等式

x2

108

+

y2

4

≥

xy

3k

對于任意正實數(shù)x，y總成立
∴

x

108y

+

y

4x

≥

1

3k

對于任意正實數(shù)x，y總成立
∴

1

3k

≤2

xy 108y4x

=

1

108

∴3k≥

108

∴k≥

1

2

+

log

6 3

1

2

+

log

3 6

又∵總成立的必要不充分條件是k∈[m，+∞），
∴[

1

2

+

log

6 3

，+∞)⊆[m，+∞），
∴正整數(shù)m只能取 1或2
故答案為：1或2

點評：本題主要考查不等式恒成立，往往轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題，一般有兩種方法，一是基本不等式，二是函數(shù)法．