Question

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上．設(shè)動(dòng)直線與拋物線相切于點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．

（1）求的值；

（2）證明：圓與軸必有公共點(diǎn)；

（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）1 （2）見解析 （3）存在，

【解析】

試題分析：（1）由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得FA的中點(diǎn)，由中點(diǎn)在拋物線上求得p的值；

（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步求得Q的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示），求得PQ的中點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出圓心到x軸的距離，求出， 由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號(hào)判斷圓C與x軸的位置關(guān)系；

（3）法一、假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，設(shè)出M的坐標(biāo)，結(jié)合（2）中求得的P，Q的坐標(biāo)，求出向量 的坐標(biāo)，由 恒成立求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入方程得，解得．

（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準(zhǔn)線方程為

由得方程，

由直線與拋物線相切，得

且，從而，即，

由，解得，

∴的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

圓心到軸距離，

∵

所圓與軸總有公共點(diǎn)．

（3）假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由拋物線對(duì)稱性知點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

由（2）知，

∴ 。

由得，

所以，即或

所以平面上存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn)．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題