Question

　　已知扇形的周長為20cm，問扇形的圓心角a為何值時，扇形面積S最大？并求出S的最大值。

 

Answer 1

答案：
解析：

分析：解答本題，需靈活運用弧度制下的弧長和面積公式，本題是求扇形面積的最大值，以扇形的半徑r(或圓心角a)的自變量，尋找函數(shù)關(guān)系式，而后求函數(shù)的最大值，從而解決問題。 　　解法一：設(shè)扇形的半徑r，弧長為，面積為S,即l=20-2g. 　　S=, 　　當(dāng)r=5時，S有最大值25，此時l=10, a==2rad. 　　所以當(dāng)a=2rad時，最大值為25. 　　解法二：由題意r·a+2r=20,即, 　　整理得S+(4S-200)a+4S=0 　　由S≠0,且△=≥0，∴S≤25 　　當(dāng)S=25時，可求得a=2. 　　∴當(dāng)a=2rad時，S有最大值，最大值是25 　　評注：(1)涉及到最大值或最小值問題時，應(yīng)先建立函數(shù)關(guān)系，再通過求函數(shù)的最大值和最小值，可以求得問題的解，這種思維過程體現(xiàn)函數(shù)思想的數(shù)學(xué)模式，是解決最值問題的基本思想方法，解法一借助了中間量l和r來表示S，這樣做可以轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的二次函數(shù)來解，解法二中求最值采用的是判別式法。 　　(2)若扇形的周長為定值，當(dāng)圓心角為2rad時，扇形面積最大，反之，若扇形的面積為定值，當(dāng)圓心角為2rad時，扇形的周長最小。