如圖,已知矩形中,
為
的中點(diǎn),沿
將三角形
折起,使
.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)取中點(diǎn)H,先證明
垂直于平面
,進(jìn)而證明平面
;(Ⅱ)建立直角坐標(biāo)系,構(gòu)造向量
,平面
的法向量
,利用公式求解.
試題解析:(Ⅰ)∵在矩形中,
為
的中點(diǎn),
∴為等腰直角三角形,
∴,即
.
(1分)
取中點(diǎn)H,連結(jié)
,則
,
在中,
,
在中,
又
,
(2分)
又 (3分)
∴面
,
(4分)
而平面
,
(5分)
∴平面⊥平面
.
(6分)
(Ⅱ)解:分別以直線為x軸和y軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
,
.
∴ (7分)
設(shè)平面的一個法向量為
由得
即令
則
,
取
(9分)
設(shè)為直線
與平面
所成的角,
則
(11分)
即直線與平面
所成角的正弦值為
(12分)
考點(diǎn):1.面面垂直的判定;2.線面角的求解;3利用空間直角坐標(biāo)系求線面角.
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