Question

已知f（x）=

a

(a2-1)(ax-a-x)

（a＞0，且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求定義域，再求f（-x），與±f（x）比較，即可判斷；
（2）令t=a^x-a^-x，則y=

a

a2-1

•

1

t

，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，可討論a＞1，0＜a＜1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

(a2-1)(ax-a-x)

（a＞0，且a≠1），
∴ax-a-x≠0，即x≠0，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又f（-x）=

a

(a2-1)(a-x-ax)

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）令t=a^x-a^-x，則y=

a

a2-1

•

1

t

，
①當(dāng)a＞1，x＞0或x＜0時(shí)，a²＞1，y是t的減函數(shù)，
a^x是x的增函數(shù)，a^-x是x的減函數(shù)，則t是x的增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）是減函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞0或x＜0時(shí)，a²＜1，y是t的增函數(shù)，a^x是x的減函數(shù)，a^-x是x的增函數(shù)，則
t是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）是減函數(shù)．
故f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上均為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，注意函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，屬于中檔題．