Question

水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具,圖2是一個水車工作的示意圖,它的直徑為3 m,其中心(即圓心)O距水面1.2m,如果水車逆時針勻速旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)一圈的時間是min.在水車輪邊緣上取一點P,點P距水面的高度為h(m).

圖2

(1)求h與時間t的函數(shù)解析式,并作出這個函數(shù)的簡圖.

(2)討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時,所求得的函數(shù)解析式中的參數(shù)將會發(fā)生哪些變化.若水車轉(zhuǎn)速加快或減慢,函數(shù)解析式中的參數(shù)又會受到怎樣的影響?

Answer 1

活動與解答:不妨設水面的高度為0,當P點旋轉(zhuǎn)到水面以下時,P點距水面的高度為負值.顯然,h與t的函數(shù)關系是周期函數(shù)的關系.

如圖2,設水車的半徑為R,R=1.5 m;水車中心到水面的距離為b,b=1.2 m;∠QOP為α;水車旋轉(zhuǎn)一圈所需的時間為T;由已知T=(min)=80(s),單位時間(s)旋轉(zhuǎn)的角度(rad)為ω,ω==rad/s.

為了方便,不妨從P點位于水車輪與水面交點Q時開始計時(t=0),在t時刻水車轉(zhuǎn)動的角度為α,如圖2所示,∠QOP=α=ωt=t(rad).

過P點向水面作垂線,交水面于M點,PM的長度為P點的高度h.過水車中心O作PM的垂線,交PM于N點,∠QON為φ.

從圖中不難看出:

h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①

這是一個由三角函數(shù)確定的數(shù)學模型.

從圖中可以看出:sinφ=,所以φ≈53.1°≈0.295π rad.

把前面已經(jīng)確定了的參數(shù)α,φ,R和b代入①式,我們就可以得到

h=1.5 sin(t-0.295π)+1.2(m).②

這就是P點距水面的高度h關于時間t的函數(shù)解析式.

因為當P點旋轉(zhuǎn)到53.1°時,P點到水面的距離恰好是1.2(m),

此時t=≈11.8(s),故可列表,描點,畫出函數(shù)在區(qū)間［11.8,91.8］上的簡圖(如圖3):

t	11.8	31.8	51.8	71.8	91.8
h=1.5sin(t-0.295π)+1.2	1.2	2.7	1.2	-0.3	1.2

    如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少,將造成水車中心O與水面距離的改變,而使函數(shù)解析式中所加參數(shù)b發(fā)生變化.水面上漲時參數(shù)b減小;水面回落時參數(shù)b增大.如果水車輪轉(zhuǎn)速加快,將使周期T減小,轉(zhuǎn)速減慢則使周期T增大.

點評:面對實際問題建立數(shù)學模型,是一項重要的基本技能.這個過程并不神秘,就像這個例題,把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程是很自然的.