如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD.
(1)證明:PA⊥BD;
(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.
分析:(1)證明PA⊥BD,只需證明BD⊥平面PAD,即需證明BD⊥AD,BD⊥PD;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,表示出點(diǎn)與向量,求出設(shè)平面PAB的法向量
n
=(
3
,1,
3
)
,平面PBC的法向量
m
=(0,-1,-
3
),利用向量的夾角公式,即可求得二面角A-PB-C的余弦值.
解答:(1)證明:因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD=2,
由余弦定理得BD=
3
AD
=
3

從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD             
又PD⊥底面ABCD,BD?底面ABCD,∴BD⊥PD
∵AD∩PD=D
∴BD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD
∴PA⊥BD (6分)
(2)解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(1,0,0),B(0,
3
,0)
,C(-1,
3
,0)
,P(0,0,1).
AB
=(-1,
3
,0)
PB
=(0,
3
,-1)
,
BC
=(-1,0,0)

設(shè)平面PAB的法向量為
n
=(x,y,z),則
n
AB
=0
n
PB
=0
,即 
-x+
3
y=0
3
y-z=0

因此可取
n
=(
3
,1,
3
)

設(shè)平面PBC的法向量為
m
=(x′,y′,z′),則 
m
PB
=0
m
BC
=0
,即
3
y′-z′=0
x′=0

可取
m
=(0,-1,-
3
),
cos<
m
n
>=
-4
2
7
=-
2
7
7

故二面角A-PB-C的余弦值為-
2
7
7
. (12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線線垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定與性質(zhì),正確運(yùn)用向量求面面角.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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