Question

已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=﹣1相切，點(diǎn)C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為﹣的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線M的方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由題意得，直線AB的方程為
由消y得3x²﹣10x+3=0，解得．
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），．
假設(shè)存在點(diǎn)C（﹣1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②
由①﹣②得，
解得．但不符合①，所以由①，②組成的方程組無解．
因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形．
（ii）設(shè)C（﹣1，y）使△ABC成鈍角三角形，
由得，
即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，）時，A，B，C三點(diǎn)共線，故．
又，，．
當(dāng)|BC|²＞|AC|²+|AB|²，即，即時，∠CAB為鈍角．
當(dāng)|AC|²＞|BC|²+|AB|²，即，即時∠CBA為鈍角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，即，即．
該不等式無解，
所以∠ACB不可能為鈍角．
因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，
點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是或．