Question

1．若函數$f（x）=|{\frac{e^x}{2}-\frac{a}{e^x}}|（{a∈R}）$在區(qū)間[1，2]上單調遞增，則實數a的取值范圍是[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 去掉絕對值，根據f′（x）≥0，得到a的范圍即可．

解答 解：f（x）=$|\frac{{e}^{2x}-2a}{{2e}^{x}}|$；
∵x∈[1，2]；
∴a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$時，f（x）=$\frac{{e}^{2x}-2a}{{2e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{2x}+2a}{{2e}^{x}}$；
由f′（x）≥0；解得：a≥-$\frac{{e}^{2x}}{2}$≥-$\frac{{e}^{2}}{2}$，
即-$\frac{{e}^{2}}{2}$≤a≤$\frac{{e}^{2}}{2}$時，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]上單調遞增；
即a的取值范圍是：[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{{e}^{2}}{2}$，$\frac{{e}^{2}}{2}$]．

點評 考查對含絕對值函數的處理方法：去絕對值，根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，以及指數函數的單調性．