Question

△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且

2

sin2

C

2

+cos

C

2

=

2

（1）求角C的大��；
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的式子利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化為關(guān)于cos

C

2

的方程，因式分解即可得到cos

C

2

的值，然后根據(jù)

C

2

的范圍及特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由a，b，c成等比數(shù)列得到b²=ac，由（1）得到此三角形為直角三角形，根據(jù)勾股定理列出三邊的關(guān)系，兩者聯(lián)立消去b后得到關(guān)于a和c的方程，兩邊同除以c²，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到關(guān)于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值．

解答：解：（1）由

2

sin2

C

2

+cos

C

2

=

2

，
得

2

(1-cos2

C

2

)+cos

C

2

=

2

，
整理得cos

C

2

(

2

cos

C

2

-1)=0，
因為在△ABC中，0＜C＜π，所以0＜

C

2

＜

π

2

，
所以cos

C

2

=

2

2

（舍去cos

C

2

=0），
從而

C

2

=

π

4

，即C=

π

2

；
（2）解：因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b²=ac，
由（1）知，△ABC是以角C為直角的直角三角形，
所以c²=a²+b²，將b²=ac代入
整理得a²+ac-c²=0，
上式兩邊同除以c²，得

a2

c2

+

a

c

-1=0，
因為sinA=

a

c

，所以sin²A+sinA-1=0，
注意到0＜A＜

π

2

解得sinA=

5 -1

2

（舍去sinA=

-1- 5

2

）．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道綜合題，學(xué)生做題時應(yīng)注意角度的范圍，搞清題中的cos

C

2

=0與sinA=

-1- 5

2

舍去的原因．