Question

若F₁F₂為雙曲線-=1的左右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線左支上，M在右準線上，且滿足=，=
（1）求此雙曲線的離心率；
（2）若此雙曲線過點N（2，），求雙曲線方程；
（3）設（2）中雙曲線的虛軸端點為B₁，B₂（B₁在y軸正半軸上），求B₂作直線AB與雙曲線交于A B兩點，求⊥時，直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由知四邊形PF₁OM為平行四邊形，再利用得PF₁OM為菱形，所以就有
求出離心率e即可．
（2）由（1）求出的離心率e以及雙曲線過點N（2，），可以求出c，a進而求出雙曲線方程；
（3）先設出直線AB的方程，再與雙曲線方程聯立，求出關于A，B兩點坐標的方程，再利用⊥⇒x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，就可求出對應的直線的斜率，進而求出直線AB的方程．
解答：解：（1）由知四邊形PF₁OM為平行四邊形，
又由
知OP平分∠F₁OM，∴PF₁OM為菱形，
設半焦距為c，由=c 知=c，
，∴，
又，即
e²-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
（2）∵e=2=∴c=2a，∴雙曲線方程為，
將點（2，）代入，有∴a²=3．
即所求雙曲線方程為．（8分）
（3）依題意得B₁（0，3），B₂（0，-3）
設直線AB的方程為y=kx-3，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
則由．
∵雙曲線的漸近線為y=±x，∴k=±時，AB與雙曲線只有一個交點，
即k≠±∵x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6=，y₁y₂=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+9=9
又=（x₁，y₁-3），=（x₂，y₂-3），
⇒x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴，即k²=5∴k=±．
故所求直線AB的方程為y=x-3或y=-x-3．（14分）
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．