【題目】記無窮數(shù)列的前n項中最大值為,最小值為,令,數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為.
(1)若數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,求;
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,試問數(shù)列是否也一定是等差數(shù)列?若是,請證明;若不是,請舉例說明;
(3)若,求.
【答案】(1);(2)見解析;(3),
【解析】
(1)由題意求得和,即得,利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.
(2)若“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”,設其公差為d′,bn+1﹣bnd′,根據(jù)定義,Mn+1≥Mn,mn+1≤mn,至少有一個取等號,當d′>0時,Mn+1>Mn,an+1=Mn+1>Mn≥an,即數(shù)列{an}為增數(shù)列,則Mn=an,mn=a1,進而得出.同理可得d′<0時,“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”;當d′=0時,Mn+1=Mn,且mn+1=mn,故{an}為常數(shù)列,是等差數(shù)列.
(3)由題意可得,根據(jù)定義可以分析得到當時,,即得;同理可得時,.,
所以當時,, 得到 可得,求得
;當時, 得到,求得,分段寫出結(jié)果即可.
(1)∵數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,∴,∴,
則,∴
(2)若數(shù)列是等差數(shù)列,設其公差為
∵
根據(jù),的定義,有以下結(jié)論:
,,且兩個不等式中至少有一個取等號,
①若,則必有,∴,即對,,都有
∴,,
∴,即為等差數(shù)列;
②當時,則必有,所以,即對,,都有
∴,,
所以,即為等差數(shù)列;
③當,
∵,中必有一個為0,∴根據(jù)上式,一個為0,則另一個亦為0,
即,,∴為常數(shù)數(shù)列,所以為等差數(shù)列,
綜上,數(shù)列也一定是等差數(shù)列.
(3)∵,
∴當時,,即,當時,,即.
以下證明:,
當時,
若,則,,所以,不合題意;
若,則,,則,得:,與矛盾,不合題意;
∴,即;
同理可證:,即,時,.
①當時,, ∴ ∴,
∵ ∴
∴
②當時,,且
∴,則為或.若為,則為常數(shù),與題意不符,∴ ∴ ∴
∴ ,
∴,.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.若冪函數(shù)的圖象過點,則
B.命題:“,”,則的否定為“,”
C.“”是“”的充分不必要條件
D.若與是相互獨立事件,則與也是相互獨立事件
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【題目】已知球的半徑為3,該球的內(nèi)接正三棱錐的體積最大值為,內(nèi)接正四棱錐的體積最大值為,則的值為__________.
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【題目】為了美化環(huán)境,某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪,休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D為直角頂點的等腰直角三角形.擬修建兩條小路AC,BD(路的寬度忽略不計),設∠BAD=,(,).
(1)當cos=時,求小路AC的長度;
(2)當草坪ABCD的面積最大時,求此時小路BD的長度.
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【題目】為了豐富學生的課外文化生活,某中學積極探索開展課外文體活動的新途徑及新形式,取得了良好的效果.為了調(diào)查學生的學習積極性與參加文體活動是否有關(guān),學校對300名學生做了問卷調(diào)查,列聯(lián)表如下:
參加文體活動 | 不參加文體活動 | 合計 | |
學習積極性高 | 180 | ||
學習積極性不高 | 60 | ||
合計 | 300 |
已知在全部300人中隨機抽取1人,抽到學習積極性不高的學生的概率為.
(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整;
(2)是否有的把握認為學習積極性高與參加文體活動有關(guān)?請說明你的理由;
(3)若從不參加文體活動的同學中按照分層抽樣的方法選取5人,再從所選出的5人中隨機選取2人,求至少有1人學習積極性不高的概率.
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中.
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【題目】某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質(zhì),基地收益如下表所示:
周一 | 無雨 | 無雨 | 有雨 | 有雨 |
周二 | 無雨 | 有雨 | 無雨 | 有雨 |
收益 | 萬元 | 萬元 | 萬元 | 萬元 |
若基地額外聘請工人,可在周一當天完成全部采摘任務.無雨時收益為萬元;有雨時,收益為萬元.額外聘請工人的成本為萬元.
已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為萬元的概率為.
(Ⅰ)若不額外聘請工人,寫出基地收益的分布列及基地的預期收益;
(Ⅱ)該基地是否應該外聘工人,請說明理由.
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【題目】北京市政府為做好會議接待服務工作,對可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進入餐飲區(qū)前必須進行兩輪檢測,只有兩輪都合格才能進行銷售,否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為,第二輪檢測不合格的概率為,兩輪檢測是否合格相互沒有影響.
(1)求該海產(chǎn)品不能銷售的概率.
(2)如果該海產(chǎn)品可以銷售,則每件產(chǎn)品可獲利40元;如果該海產(chǎn)品不能銷售,則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利-80元).已知一箱中有該海產(chǎn)品4件,記一箱該海產(chǎn)品獲利元,求的分布列,并求出數(shù)學期望.
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