Question

已知實數(shù)m≠1，函數(shù)f（x）=

2x+m，x＜2 -x-2m，x≥2

，若f（3-m）=f（1+m），則m的值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)的值,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)分段函數(shù)的解析式，可以確定3-m和1+m應該在兩段函數(shù)上各一個，對3-m和1+m分類討論，確定相應的解析式，列出方程，求解即可得到實數(shù)m的值．

解答： 解：∵f（x）=

2x+m，x＜2 -x-2m，x≥2

，
∴f（x）在x≤2和x＞2時，函數(shù)均為一次函數(shù)，
∵f（3-m）=f（1+m），
∴3-m和1+m分別在x≤2和x＞2兩段上各一個，
①當3-m≤2，且1+m＞2，即m＞1時，
∴f（3-m）=2（3-m）+m=6-m，f（1+m）=-（1+m）-2m=-1-3m，
∵f（3-m）=f（1+m），
∴6-m=-1-3m，
∴m=-

5

4

（舍去）；
②當3-m＞2，且1+m≤2，即m＜1時，
∴f（3-m）=-（3-m）-2m=-3-m，f（1+m）=2（1+m）+m=2+3m，
∵f（3-m）=f（1+m），
∴-3-m=2+3m，
∴m=-

5

4

．
綜合①②，可得實數(shù)m的值為-

5

4

．
故答案為：-

5

4

．

點評：本題考查了分段函數(shù)的解析式及其應用，考查了分段函數(shù)的取值問題，對于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學思想進行解題．同時考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．函數(shù)的零點等價于對應方程的根，等價于函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．屬于中檔題．