精英家教網(wǎng)如圖直角三角形ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，點E1，F(xiàn)分別在CA、CB上，EF∥AB，|AE|=
2
，則
AF
•
BE
=
 
．
分析：根據(jù)等腰Rt△ABC的斜邊|AB|=3，算出|CA|=|CB|=
3
2
2
．由|AE|=
2
且EF∥AB，可得
AE
=
2
3
AC
且
BF
=
2
3
BC
，利用向量加法法則得到
AF
=
AB
+
2
3
BC
且
BE
=
BA
+
2
3
AC
．由此可得
AF
•
BE
=（
AB
+
2
3
BC
）•（
BA
+
2
3
AC
）=-
AB
2+
2
3
AB
•
AC
-
2
3
AB
•
BC
+
4
9
BC
•
AC
，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式分別算出
BC
•
AC
、
AB
2、
AB
•
AC
與
AB
•
BC
的值，代入前面的式子算出
AF
•
BE
=-3，從而得到答案．
解答：解：精英家教網(wǎng)∵Rt△ABC中，|CA|=|CB|，|AB|=3，
∴|CA|2+|CB|2=|AB|2=9，可得|CA|2=|CB|2=
9
2
，|CA|=|CB|=
3
2
2
．
而AC上的點E滿足|AE|=
2
，可得|AE|=
2
3
|AC|．
又∵點E、F分別在CA、CB上，EF∥AB，
∴
|AE|
|AC|
=
|BF|
|BC|
=
2
3
，可得
BF
=
2
3
BC
，
由此可得
AF
=
AB
+
BF
=
AB
+
2
3
BC
，同理可得
BE
=
BA
+
2
3
AC
．
∴
AF
•
BE
=（
AB
+
2
3
BC
）•（
BA
+
2
3
AC
）=（
AB
+
2
3
BC
）•（-
AB
+
2
3
AC
）
=-
AB
2+
2
3
AB
•
AC
-
2
3
AB
•
BC
+
4
9
BC
•
AC

∵
BC
⊥
AC
，∠CAB=∠CBA=45°，|CA|=|CB|=
3
2
2
，|AB|=3，
∴
BC
•
AC
=0，
AB
2=
|AB|
2=9，
AB
•
AC
=|
AB
|•|
AC
|cos45°=3×
3
2
2
×
2
2
=
9
2
，
AB
•
BC
=|
AB
|•|
BC
|cos135°=3×
3
2
2
×（-
2
2
）=-
9
2
．
因此，
AF
•
BE
=-
AB
2+
2
3
AB
•
AC
-
2
3
AB
•
BC
+
4
9
BC
•
AC
=-9+
2
3
×
9
2
-
2
3
×（-
9
2
）+
4
9
×0=-3．
故答案為：-3
點評：本題在等腰直角三角形中求向量的數(shù)量積，著重考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、向量的線性運算性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三角形ABC是直角三角形，C=90°，邊AC、BC的中點分別是E、D，若
CA
=
a
，
CB
=
b
，且|
a
|=|
b
|=2.0
（1）分別用向量
a
、
b
表示
AD
和
BE
；
（2）計算AD、BE所成鈍角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，三角形ABC是直角三角形，C=90°，邊AC、BC的中點分別是E、D，若數(shù)學公式，數(shù)學公式，且數(shù)學公式=2.0
（1）分別用向量數(shù)學公式、數(shù)學公式表示數(shù)學公式和數(shù)學公式；
（2）計算AD、BE所成鈍角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三角形ABC是直角三角形，C=90°，邊AC、BC的中點分別是E、D，若
CA
=
a
，
CB
=
b
，且|
a
|=|
b
|=2.0
（1）分別用向量
a
、
b
表示
AD
和
BE
；
（2）計算AD、BE所成鈍角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖,直角三角形BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面,其中,平面ABC, DC=BC=2PA , E．F分別為DB．CB的中點．（1）證明：AEBC；

（2）求直線PF與平面BCD所成的角．

 


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