Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象與y軸交于點（0，2），并且在x=1處切線的方向向量為．
（1）若是函數(shù)f（x）的極值點，求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[]單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得：f′（x）=3x²+2ax+b，
因為函數(shù)的圖象與y軸交于點（0，2），
所以C=2…①
又因為在x=1處切線的方向向量為，
所以f′（1）=3+2a+b=3…②
因為是函數(shù)f（x）的極值點，
所以f′（）=++b=0…③
由①②③可得：a=2，b=-4，c=2．
所以f（x）=x³+a=2x²-4x+2．
（2）由題意可得：c=2，并且2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[]單調(diào)遞增，
所以f′（x）=3x²-bx+b≥0在[]上恒成立，
即在[]上恒成立，
令g（x）=，x∈[]，
所以g（x）=3×=3×≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時，g（x）有最小值為12．
所以b≤g（x）_min=12，
所以實數(shù)b的取值范圍（-∞，12]．
分析：（1）由題意可得：C=2，f′（1）=3+2a+b=3并且f′（）=++b=0，所以可得：a=2，b=-4，c=2．
（2）由題意可得：2a=-b，所以f′（x）=3x²-bx+b，根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[]單調(diào)遞增，可得在[]上恒成立，再利用函數(shù)求最值得方法求出g（x）=的最小值，即可得到答案．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練掌握恒成立問題與求最值問題之間的相互轉(zhuǎn)化．