Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，S_n為其前n項和，且滿足S₂=4，S₅=25，數(shù)列{b_n}滿足b_n=，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)數(shù)列的首項為a₁，公差為d，利用S₂=4，S₅=25，建立方程組，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）分類討論，分離參數(shù)，利用基本不等式及數(shù)列的單調(diào)性，即可求實數(shù)λ的取值范圍；
（3）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程，求出m的值，從而可求n的值．
解答：解：（1）設(shè)數(shù)列的首項為a₁，公差為d，則
∵S₂=4，S₅=25，
∴
∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1；
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜恒成立．
∵，等號在n=2時取得． 
∴此時λ需滿足λ＜25．
②當(dāng)n為奇數(shù)時，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜-15恒成立．
∵是隨n的增大而增大，∴n=1時，取得最小值-6．
∴此時λ需滿足λ＜-21．
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21．
（3），
若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則，即．…12分
∴，
即-2m²+4m+1＞0，------------------------14分
∴．
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此時n=12．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時，數(shù)列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．--------16分
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．