Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂+a₄=8，且對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n+a_n+2=2a_n+1
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．且滿足S1•Sn=2bn-b1，n∈N*，b1≠0，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）易判斷{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由a₁=2，a₂+a₄=8可得d的方程，求得d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）令n=1，由S₁S_n=2b_n-b₁可求得b₁=1，則S_n=2b_n-1①，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2b_n-1-1②，兩式相減可得遞推式，根據(jù)遞推式可判斷{b_n}為等比數(shù)列，求出b_n，進(jìn)而可得a_nb_n，利用錯(cuò)位相減法可求得T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由n∈N^*，都有a_n+a_n+2=2a_n+1，知{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∵a₁=2，a₂+a₄=8，∴2×2+4d=8，解得d=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1；
（Ⅱ）由S₁S_n=2b_n-b₁得，
當(dāng)n=1時(shí)，有b12=2b1-b1=b1，∵b₁≠0，∴b₁=1，S_n=2b_n-1①，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2b_n-1-1②，
①-②得，b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1（n≥2），
則數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，bn=2n-1．
∴a_nb_n=（n+1）•2^n-1，
T_n=2+3×2+4×2²+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1③，
2T_n=2×2+3×2²+4×2³+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ④，
③-④得，-T_n=2+2+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ
=1+

2n-1

2-1

=（n+1）•2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴T_n=n•2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和要熟練掌握，是高考重點(diǎn)．