如圖，直線y=
1
2
x與拋物線y=
1
8
x2-4交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與直線y=-5交于Q點．
（1）求點Q的坐標(biāo)；精英家教網(wǎng)
（2）當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方（含A、B）的動點時，求△OPQ面積的最大值．
分析：（1）把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點A，B的坐標(biāo)，則AB中點M的坐標(biāo)可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用P到直線0Q的距離求得三角形的高，利用兩點間的距離公式求得QO的長，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．
解答：解：（1）解方程組
y=
1
2
x
y=
1
8
x2-4
得
x1=-4
y1=-2
或
x2=8
y2=4
即A（-4，-2），B（8，4），
從而AB的中點為M（2，1），
由kAB═
1
2
，直線AB的垂直平分線方程y-1=-2（x-2）．
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
（2）直線OQ的方程為x+y=0，設(shè)P（x，
1
8
x2-4）．
∵點P到直線OQ的距離
d=
|x+
1
8
x2-4|
2
=
1
8
2
|x2+8x-32|．
|OQ|=5
2
，∴S△OPQ=
1
2
|OQ|d=
5
16
|x2+8x-32|
∵P為拋物線上位于線段AB下方的點，且P不在直線OQ上，
∴-4≤x＜4
3
-4或4
3
-4＜x≤8．
∵函數(shù)y=x2+8x-32在區(qū)間[-4，8]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=8時，△OPQ的面積取到最大值30．
點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，點到直線的距離公式．考查了對解析幾何基礎(chǔ)知識的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，射線OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），
過點P（1，0）作直線分別交射線OA、OB于A、B點．
①當(dāng)AB的中點為P時，求直線AB的方程；
②當(dāng)AB的中點在直線y=
1
2
x上時，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)下列四個命題中，真命題的序號有
 
（寫出所有真命題的序號）．
①將函數(shù)y=|x+1|的圖象按向量y=（-1，0）平移，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=|x|．
②圓x2+y2+4x-2y+1=0與直線y=
1
2
x相交，所得弦長為2．
③若sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3
，則tanαcotβ=5．
④如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，P為底面ABCD內(nèi)一動點，P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直線y=-
1
2
x+1交坐標(biāo)軸于A、B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A、D、C的拋物線與直線的另一個交點為E．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若正方形以每秒
5
個單位長度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直線l1：y=kx+1-k(k≠0，k≠±
1
2
)與l2：y=
1
2
x+
1
2
相交于點P．直線l1與x軸交于點P1，過點P1作x軸的垂線交直線l2于點Q1，過點Q1作y軸的垂線交直線l1于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線l2于點Q2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P1、Q1、P2、Q2，…，點Pn（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}．
（Ⅰ）證明xn+1-1=
1
2k
(xn-1)，n∈N*；
（Ⅱ）求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅲ）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大�。�

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