Question

設(shè)命題p：函數(shù)y=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減；命題q：3^x-9^x＜a對(duì)一切的x∈R恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：命題p：函數(shù)y=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，得出0＜a＜1，
命題q：3^x-9^x＜a對(duì)一切的x∈R恒成立，得a＞

1

4

，
p且q為真時(shí)，可得：

1

4

＜a＜1，最后可得出命題“p且q”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵命題p：函數(shù)y=log_a（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，
∵命題q：3^x-9^x＜a對(duì)一切的x∈R恒成立，
∴f（x）=3^x-（3^x）²，
t=3^x，y=-t²+t，t＞0，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，y的最大值

1

4

，
即必須得a＞

1

4

，
∵p且q為真時(shí)，可得：

1

4

＜a＜1，
∴命題“p且q”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

1

4

）∪（1，+∞），

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)，不等式，簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)靈活運(yùn)用，巧用對(duì)立事件求解．