【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調性;
(2)若有兩個極值,其中,求的最小值.
【答案】(1)答案見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)求出,分三種情況討論: 時, , 時,結合判別式及求根公式,令,求得 的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得 的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)根據(jù)韋達定理可得, , , ,令,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,根據(jù)單調性可得的最小值為,即的最小值為.
試題解析:(1)由題意得,其中,
令, ,
①當時,令,得, ,
所以, 在單調遞增;
②當時, , 在單調遞增;
③當時,令,得, ,且
可知當時, ,
在單調遞增;
當時, ,
在單調遞減;
當時, ,
在單調遞增;
綜上所述,當時, 在單調遞增;
當, 在和單調遞增,
在單調遞減;
(2)由(1)知,
由題意知是的兩根,
∴, ,
可得,
∵,∴
令,
則有
當時, , 在上單調遞減,
的最小值為
,即的最小值為.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線過,傾斜角為,以為極點, 軸在平面直角坐標系中,直線,曲線(為參數(shù)),坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求的極坐標方程;
(2)若曲線的極坐標方程為,且曲線分別交于點兩點,求的最大值.
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【題目】已知拋物線的頂點在原點,過點A(-4,4)且焦點在x軸.
(1)求拋物線方程;
(2)直線l過定點B(-1,0)與該拋物線相交所得弦長為8,求直線l的方程.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.
(1)當時,求曲線和曲線的交點的直角坐標;
(2)當時,設, 分別是曲線與曲線上動點,求的最小值.
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【題目】已知直角梯形中, , , , 、分別是邊、上的點,且,沿將折起并連接成如圖的多面體,折后.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)若折后直線與平面所成角的正弦值是,求證:平面平面.
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【題目】已知集合,其中,由中的元素構成兩個相應的集合:
, .
其中是有序數(shù)對,集合和中的元素個數(shù)分別為和.
若對于任意的,總有,則稱集合具有性質.
(Ⅰ)檢驗集合與是否具有性質并對其中具有性質的集合,寫出相應的集合和.
(Ⅱ)對任何具有性質的集合,證明.
(Ⅲ)判斷和的大小關系,并證明你的結論.
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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為,過點的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線與曲線相交于兩點.
(Ⅰ)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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