Question

點(diǎn)P為直線y=

3

(x+1)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A（0，0），B（3，0），則∠APB的最大值為

π

3

．

Answer 1

分析：設(shè)經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓為圓M，且圓M直線y=

3

(x+1)相切于點(diǎn)P₀，根據(jù)平面幾何知識(shí)可得：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，∠APB的最大．然后設(shè)出圓M方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用點(diǎn)A（0，0）和B（3，0）在圓M上，解出D=-3且F=0，再利用圓心到直線y=

3

(x+1)的距離等于半徑解出E的值，從而得到圓M的方程．最后聯(lián)解直線y=

3

(x+1)與圓M的方程，得到切點(diǎn)P₀坐標(biāo)為（0，

3

），在Rt△P₀AB中利用正切定義求出最大角為

π

3

．

解答：解：如圖，作出經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓M，且圓M直線y=

3

(x+1)相切于點(diǎn)P₀，
動(dòng)在直線y=

3

(x+1)上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P與點(diǎn)P₀重合時(shí)，∠APB的最大．
證明如下：當(dāng)點(diǎn)P位于圓M外時(shí)，設(shè)PB交圓M于點(diǎn)C，
連接AC，則∠AP₀B=∠ACB＞∠APB，所以∠AP₀B是∠APB的最大值．
設(shè)圓M方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，據(jù)題意得：

F=0 9+3D+F=0

⇒D=-3且F=0
∴圓M方程為：x²+y²-3x+Ey=0，圓心M（

3

2

，-

E

2

），半徑為

9 4 + E2 4

∵圓M直線y=

3

(x+1)相切，即與直線

3

x-y+

3

 =0相切，
∴

| 3 • 3 2 + E 2 + 3 |

3+1

=

9 4 + E2 4

⇒E=-

3

，
所以，圓M方程為：x²+y²-3x-

3

y=0，再由

y= 3 (x+1) x2+y2-3x- 3 y=0

聯(lián)解，得

x=0 y= 3

，所以點(diǎn)P₀坐標(biāo)為（0，

3

）．
此時(shí)，在Rt△P₀AB中有tan∠AP₀B=

AB

AP0

=

3

∴∠AP₀B=

π

3

，即∠APB的最大值為

π

3

故答案為：

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的張角的最大值的問(wèn)題為載體，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和三角函數(shù)的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．