Question

設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在正實數(shù)k，使對任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的“k階增函數(shù)”．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，x＞0時，f（x）=|x-a|-a，其中a為正常數(shù)，若f（x）為R上的“2階增函數(shù)”，
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．（0，2）

B．（0，1）

C．（0， 1 2 ）

D．（0， 1 4 ）

Answer 1

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
且當x＞0時，f（x）=|x-a|-a，
∴f(x)=

|x-a|-a，x＞0 -|x+a|+a，x＜0

，
又f（x）為R上的“2階增函數(shù)”，
當x＞0時，由定義有|x+2-a|-a＞|x-a|-a，
即|x+2-a|＞|x-a|，其幾何意義為到點a小于到點a-2的距離，
由于x＞0故可知a+a-2＜0得a＜1．
當x＜0時，分兩類研究：
①若x+2＜0，則有-|x+2+a|+a＞-|x+a|+a，
即|x+a|＞|x+2+a|，其幾何意義表示到點-a的距離小于到點-a-2的距離，
由于x＜0，故可得-a-a-2＞0，得a＜-1；
②若x+2＞0，則有|x+2-a|-a＞-|x+a|+a，
即|x+a|+|x+2-a|＞2a，其幾何意義表示到到點-a的距離與到點a-2的距離的和大于2a，
當a≤0時，顯然成立，
當a＞0時，由于|x+a|+|x+2-a|≥|-a-a+2|=|2a-2|，
故有|2a-2|＞2a，必有2-2a＞2a，解得a＜

1

2

，
綜上，對x∈R都成立的實數(shù)a的取值范圍是a＜

1

2

．
故選C．