Question

函數(shù)f（x）=-ax³1nx+3x³-4b在x=1處取得極值，其中a，b為常數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對(duì)?x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=-a（3x²lnx+x²）+9x²和f（x）=-ax³1nx+3x³-4b在x=1處取得極值，知f′（1）=0，由此能求出a．
（2）由（1）知f′（x）=-27x²lnx，x＞0，由此求出f（x）_max=f（1）=3-4b．由對(duì)?x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，知3-4b-4b²≤0，由此能求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=-ax³lnx+3x³-4b，
∴f′（x）=-a（3x²lnx+x²）+9x²，
∵f（x）=-ax³lnx+3x³-4b在x=1處取得極值，
∴f′（1）=-a+9=0，解得a=9．
（2）由a=9，知f′（x）=-27x²lnx，x＞0，
令f′（x）=0，解得x=1．
∵0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；x＞1時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x）的減區(qū)間為（1，+∞），f（x）的增區(qū)間為（0，1），
∴f（x）_max=f（1）=3-4b．
∵對(duì)?x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，
∴3-4b-4b²≤0，
解得b≤-

3

2

，或b≥

1

2

．
∴b的取值范圍是（-∞，-

3

2

]∪[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考要滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．