Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的公差d不等于0，設(shè)a₁，a₃，a_k是公比為q的等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)，
（1）若k=7，a₁=2；
（i）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（ii）將數(shù)列{a_n}和{b_n}的相同的項(xiàng)去掉，剩下的項(xiàng)依次構(gòu)成新的數(shù)列{c_n}，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，求的值
（2）若存在m＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比數(shù)列，求證k為奇數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閗=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，又a_n是公差d≠0的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的定義可以得到a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，
（i）用錯位相減法可求得a_nb_n的前n項(xiàng)和為T_n=n×2ⁿ⁺¹；
（ii）因?yàn)樾碌臄?shù)列{c_n }的前2ⁿ-n-1項(xiàng)和為數(shù)列a_n的前2ⁿ-1項(xiàng)的和減去數(shù)列b_n前n項(xiàng)的和，所以計算得到．
（2）由題意由于（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），解方程得，，又因?yàn)榇嬖趍＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比數(shù)列，及在正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，得到2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，分析數(shù)特點(diǎn)即可．
解答：解：（1）因?yàn)閗=7，所以a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，又a_n是公差d≠0的等差數(shù)列，
所以（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），整理得a₁=2d，
又a₁=2，所以d=1，b₁=a₁=2，，
所以a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁×q^n-1=2ⁿ，
（i）用錯位相減法或其它方法可求得a_nb_n的前n項(xiàng)和為T_n=n×2ⁿ⁺¹；
（ii）因?yàn)樾碌臄?shù)列{c_n }的前2ⁿ-n-1項(xiàng)和為數(shù)列a_n的前2ⁿ-1項(xiàng)的和減去數(shù)列b_n前n項(xiàng)的和，
所以．
所以
（2）由（a₁+2d）²=a₁（a₁+（k-1））d，整理得4d²=a₁d（k-5），
因?yàn)閐≠0，所以，所以．
因?yàn)榇嬖趍＞k，m∈N^*使得a₁，a₃，a_k，a_m成等比數(shù)列，
所以，
又在正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，，
所以，又因?yàn)閍₁＞0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）³，
因?yàn)?[4+（m-1）（k-5）]是偶數(shù)，所以（k-3）³也是偶數(shù)，
即k-3為偶數(shù)，所以k為奇數(shù)．
點(diǎn)評：此題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，還考查了解方程的能力，數(shù)列求和的錯位相減法，及學(xué)生的計算能力．