Question

已知不平行于坐標(biāo)軸的直線l與以原點(diǎn)O為中心的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩 及其兩條漸近線從左到右依次交于A，B，C，D不同的四點(diǎn)，則下列一定成立的是（　�。�

• A、|AD|=2|BC|
• B、|AB|=|BC|=|CD|
• C、

  OA

  +

  OD

  =

  OB

  +

  OC

• D、

  OA

  •

  OD

  =

  OB

  •

  OC

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)l的方程為y=kx+m，分別設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B（x₃，y₃），C（x₄，y₄），分別根據(jù)韋達(dá)定理求出并得到x₁+x₂=x₃+x₄，同理得到y(tǒng)₁+y₂=y₃+y₄，
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到

OA

+

OD

=

OB

+

OC

，故結(jié)論一定成立的選項(xiàng)即得到

解答： 解：如圖所示：
設(shè)l的方程為y=kx+m，代入雙曲線方程并整理得：
（b²-a²k²）x²-2a²kmx-a²（m²+b²）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2a2km

b2-a2k2

再將y=kx+m代入雙曲線漸近線方程b²x²-a²y²=0 并整理得
（b²-a²k²）x²-2a²kmx-a²m²=0．
設(shè)B（x₃，y₃），C（x₄，y₄），則x₃+x₄=

2a2km

b2-a2k2

∴x₁+x₂=x₃+x₄，
同理可得y₁+y₂=y₃+y₄，
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₃，y₃），

OC

=（x₄，y₄），

OD

=（x₂，y₂），
∴

OA

+

OD

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

OB

+

OC

=（x₃+x₄，y₃+y₄）
∴

OA

+

OD

=

OB

+

OC

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和雙曲線的關(guān)系，以及韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題