已知f(x)=2cos2x+asin2x+b-1(a>0)的最大值比最小值大4.
(1)求a的值;
(2)當(dāng)x∈[0,
π2
]
時(shí),|f(x)|≤3恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:(1)利用降冪公式、輔助角公式將f(x)化為f(x)=
a2+1
sin(2x+φ)+b,由題意可求a的值;
(2)由(1)知f(x)=2sin(2+
π
6
)+b,由x∈[0,
π
2
]可得2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
],從而可得f(x)∈[b-1,b+2],結(jié)合可得|f(x)|≤3恒成立,可求實(shí)數(shù)b的取值范范.
解答:解:(1)f(x)=cos2x+asin2x+b=
a2+1
sin(2x+φ)+b,
∴2
a2+1
=4,又a>0,
∴a=
3

(2)由(1)知f(x)=2cos2x+
3
sin2x+b-1
=cos2x+
3
sin2x+b
=2sin(2+
π
6
)+b,
當(dāng)x∈[0,
π
2
]時(shí),2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
],
∴-
1
2
≤sin(2+
π
6
)≤1,-1≤2sin(2+
π
6
)≤2,
∴f(x)∈[b-1,b+2],
∴-3≤b-1且b+2≤3,得-2≤b≤1.
點(diǎn)評(píng):本題考查三角函數(shù)的最值,將f(x)化為f(x)=2sin(2+
π
6
)+b是關(guān)鍵,考查降冪公式、輔助角公式的應(yīng)用,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),考查分析與運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在下列命題中:①已知兩條不同直線m、n兩上不同平面α,β,m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;②函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)(
π
3
,0);③若函數(shù)f(x)在R上滿足f(x+1)=
1
f(x)
,則f(x)是周期為2的函數(shù);④在△ABC中,若
OA
+
OB
=2
CO
,則S△ABC=S△BOC其中正確命題的序號(hào)為
 

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