Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，若時(shí)，y=f（x）有極值．y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l不過(guò)第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b．
由題意，得
解得設(shè)切線l的方程為y=3x+m，由原點(diǎn)到切線l的距離為，
則．解得m=±1．
∵切線l不過(guò)第四象限，∴m=1．
∴切線l的方程為y=3x+1，由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
∵f（1）=1+a+b+c=4，∴c=5．

（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，所以f'（x）=3x2+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=．
列表如下：

∴f（x）在[-4，1]上的最大值為13，最小值為-11．
分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由時(shí)，y=f（x）有極值，得到f′（）=0；又函數(shù)在y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線l的斜率為3，得到f′（1）=3，兩者聯(lián)立即可求出a與b的值，然后設(shè)出此切線的方程為y=3x+m，由原點(diǎn)到切線l的距離等于，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出原點(diǎn)到y(tǒng)=3x+m的距離d，讓d等于列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1代入切線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把求出的切點(diǎn)坐標(biāo)代入f（x）中即可求出c的值；
（2）把求出的a，b和c的值代入到f（x）中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出x的值，在[-4，1]上，利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最大值和最小值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是一道中檔題．