Question

已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)” （、、），

（I）證明：只要，無論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；

（II）在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，記直線的斜率為，

（i）求證：；

（ii）對于“偽二次函數(shù)”，是否有（i）同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

解：（I）如果為增函數(shù),

則(1)恒成立,  --------1分

       當(dāng)時恒成立, (2)

由二次函數(shù)的性質(zhì), (2)不可能恒成立.

則函數(shù)不可能總為增函數(shù).   --------4分

（II）（i） 

      =.                         --------6分

       由,……..7分  則--------7分

（ii）不妨設(shè),對于“偽二次函數(shù)”:

法一:.

 (3)        --------9分

又, 

法二:

 =,       (3)                     --------9分

由(ⅰ)中(1),

如果有(ⅰ)的性質(zhì)，則 , (4)

 比較(3)( 4)兩式得，

即：，(4)                                                    --------12分

不妨令，    (5)

設(shè)，則，

∴在上遞增，  ∴.

  ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.           --------13分

  ∴“偽二次函數(shù)”不具有(ⅰ)的性質(zhì).   --------14分 

【解析】略