Question

（2013•揭陽(yáng)一模）如圖（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一簡(jiǎn)單組合體ABCDEF如圖（2）示，已知M，N，P分別為AF，BD，EF的中點(diǎn)．

（1）求證：MN∥平面BCF；
（2）求證：AP⊥平面DAE；
（3）若AD=2，求四棱錐F-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AC，通過(guò)證明MN∥CF，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面BCF；
（2）通過(guò)證明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直線與平面垂直的判定定理求證：AP⊥平面DAE；
（3）若AD=2，通過(guò)V_F-BCD=V_F-ABD，求出底面面積與高，即可求四棱錐F-ABCD的體積．

解答：解：（1）證明：連結(jié)AC，∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點(diǎn)，
∴N為AC中點(diǎn)，----------------------------------------------（1分）
在△ACF中，M為AF中點(diǎn)，故MN∥CF--------------------------（3分）
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，∴MN∥平面BCF；---（4分）
（2）依題意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，------------------（5分）
∵P為EF中點(diǎn)，∴FP=AB=2

2

結(jié)合AB∥EF，知四邊形ABFP是平行四邊形
∴AP∥BF，AP=BF=2------------------------------------（7分）
而AE=2，PE=2

2

，∴AP²+AE²=PE²∴∠EAP=90°，即AP⊥AE-----（8分）
又AD∩AE=A∴AP⊥平面ADE，----------------------------------（9分）
（3）∵三棱錐F-CBD與F-ABD等底等高，∴V_F-BCD=V_F-ABD，-----------（10分）
∴V_F-ABCD=2V_F-ABD=2V_D-ABF，-----------------------------------------------（11分）
由（2）知△PAE為等腰直角三角形，∴∠APE=45°，從而∠FBA=∠APF=135°------（12分）
故S△ABF=

1

2

AB•BFsin∠ABF=

1

2

×2

2

×2×

2

2

=2
∴VD-ABF=

1

3

S△ABF•DA=

1

3

×2×2=

4

3

∴VF-ABCD=2VD-AEF=

8

3

--------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．