精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
（1）如圖，設圓O：x2+y2=a2的兩條互相垂直的直徑為AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值
（2）將橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與x2+y2=a2相類比，請寫出與（1）類似的命題，并證明你的結論．
（3）如圖，若AB、CD是過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中心的兩條直線，且直線AB、CD的斜率積kAB•kCD=-
b2
a2
，點E是橢圓上異于A、C的任意一點，AE交直線CD于K，CE交直線AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值．
分析：（1）如圖所示，過點E作EF⊥AB，垂足為F點．由于CD⊥AB，可得EF∥CD，利用平行線的性質可得
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，再利用EF2+FO2=OE2=a2，即可證明為定值．
（2）命題：如圖，設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），橢圓的長軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值．與（1）類比：再利用點E滿足橢圓的方程即可證明為定值．
（3）如圖所示，過點E分別作EF∥CD交AB與點F，EM∥AB交直線CD于點M．
可得
EK
KA
=
FO
AO
，
EL
CL
=
MO
CO
．設A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
則
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．設直線AB的方程為y=kx（k≠0），則直線CD的方程為y=-
b2
a2k
x．直線EF的方程為y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)，直線EM的方程為y-y0=k（x-x0）．
聯立方程可解得xF．xM．
x
2
1
，
x
2
2
．可得(
EK
AK
)2=(
FO
AO
)2=
x
2
F
+
y
2
F
x12+
y
2
1
=
x
2
F
x
2
1
．同理(
EL
CL
)2=
x
2
M
x
2
2
．
于是(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=
x
2
F
x
2
1
+
x
2
M
x
2
2
=
x
2
F
x
2
2
+
x
2
M
x
2
1
x
2
1
x
2
2
，代入計算即可．
解答：解：（1）如圖所示，過點E作EF⊥AB，垂足為F點，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，
又EF2+FO2=OE2=a2，
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=(
FO
OA
)2+(
EF
CO
)2=
FO2+EF2
a2
=
a2
a2
=1．為定值．
（2）如圖，設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），橢圓的長軸、短軸分別為AB、CD，E在橢圓的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求證：(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2為定值．
證明：過點E作EF⊥AB，垂足為F點，
∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
∴
EK
AK
=
FO
OA
，
EL
CL
=
EF
CO
，
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=(
FO
OA
)2+(
EF
CO
)2=
FO2
a2
+
EF2
b2
=1．為定值．
（3）如圖所示，
過點E分別作EF∥CD交AB與點F，EM∥AB交直線CD于點M．
∴
EK
KA
=
FO
AO
，
EL
CL
=
MO
CO
．
設A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
則
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．
設直線AB的方程為y=kx（k≠0），則直線CD的方程為y=-
b2
a2k
x．
直線EF的方程為y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)，直線EM的方程為y-y0=k（x-x0）．
聯立
y=kx
y-y0=-
b2
a2k
(x-x0)
解得xF=
a2ky0+b2x0
a2k2+b2
．
聯立
y=-
b2
a2k
x
y-y0=k(x-x0)
，解得xM=
a2k(kx0-y0)
a2k2+b2
．
聯立
y=kx
b2x2+a2y2=a2b2
解得
x
2
1
=
a2b2
a2k2+b2
．
聯立
y=-
b2
a2k
x
b2x2+a2y2=a2b2
，解得
x
2
2
=
a4k2
a2k2+b2
．
∴(
EK
AK
)2=(
FO
AO
)2=
x
2
F
+
y
2
F
x12+
y
2
1
=
x
2
F
x
2
1
．
同理(
EL
CL
)2=
x
2
M
x
2
2
．
∴(
EK
AK
)2+(
EL
CL
)2=
x
2
F
x
2
1
+
x
2
M
x
2
2
=
x
2
F
x
2
2
+
x
2
M
x
2
1
x
2
1
x
2
2
=
(
a2ky0+b2x0
a2k2+b2
)2•
a4k2
a2k2+b2
+(
a2k(kx0-y0)
a2k2+b2
)2•
a2b2
a2k2+ b2
a2b2
a2k2+b2
•
a4k2
a2k2+b2
=
x
2
0
a2
+
y
2
0
b2
=1．為定值．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、平行線分線段成比例定理、直線與直線相交問題、直線與橢圓相交問題、問題轉化方法等是解題的關鍵．本題同時考查了較強的計算能力、類比推理能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，設圓（x-5）2+y2=16的圓心為C，此圓和拋物線y2=px（p＞0）有四個交點，若在x軸上方的兩個交點為A（x1，
px1
），B（x2，
px2
）（x1＜x2），坐標原點為O，△AOB的面積為S．
（1）求p的取值范圍；
（2）求S關于p的函數f（p）的表達式及S的最大值；
（3）求當S取最大值時，向量
CA
與
CB
的夾角．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•韶關二模）在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，且
cosA
cosB
=
b
a
=
3
1
．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧
AC
上，求△PAC面積最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，且數學公式．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧數學公式上，求△PAC面積最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2012年廣東省韶關市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，且．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧上，求△PAC面積最大值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案