如圖所示,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線(xiàn)段的中點(diǎn)。
(1)證明:∥平面
(2)求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值。
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,證明CM與平面BDF的法向量垂直,即可證得結(jié)論;
(2)
解析試題分析:(1)證明:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則…(2分)
設(shè)平面DBF的一個(gè)法向量為,則,
∴
取,
得平面DBF的一個(gè)法向量為,…(6分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ee/2/fvprx.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,
又因?yàn)橹本(xiàn)CM?平面DBF內(nèi),所以CM∥平面BDF.…(6分)
(2)結(jié)合上一問(wèn)可知求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值,只要確定出向量AM和向量DE的坐標(biāo)即可,結(jié)合平面向量的夾角公式來(lái)得到為
考點(diǎn):線(xiàn)面平行,異面直線(xiàn)的角
點(diǎn)評(píng):本題考查線(xiàn)面平行,考查面面角,解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,利用向量的數(shù)量積求解
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
三棱錐,底面為邊長(zhǎng)為的正三角形,平面平面,,為上一點(diǎn),,為底面三角形中心.
(Ⅰ)求證∥面;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)設(shè)為中點(diǎn),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
AB為圓O的直徑,點(diǎn)E、F在圓上,AB//EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。
(I)求證:BF⊥平面DAF;
(II)求多面體ABCDFE的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,AE⊥平面ABC,AE∥BD,AB=BC=CA=BD=2AE,F(xiàn)為CD中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF⊥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角C-DE-A的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,已知菱形,其邊長(zhǎng)為2,,繞著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=,D為AA1中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,CO丄側(cè)面ABB1A1.
(Ⅰ)證明:BC丄AB1;
(Ⅱ)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直線(xiàn)A1B上.
(1)求證:平面A1BC⊥平面ABB1A1;
(2)若,AB=BC=2,P為AC中點(diǎn),求三棱錐的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD,線(xiàn)段CD為圓O的弦,AE垂直于圓O所在平面,垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn),AE=3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.
(1)求證:平面ABCD丄平面ADE;
(2)求四面體BADE的體積;
(3)試判斷直線(xiàn)OB是否與平面CDE垂直,并請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如下圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線(xiàn)AC1與B1C所成角的余弦值.
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