Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=2，Sn=n2+n．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){ }的前n項(xiàng)和為Tn ， 求證Tn＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．

∵n=1時(shí)，a1=2×1=2，也適合

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n．

（2）解： = = ﹣

∴{ }的前n項(xiàng)和為Tn=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ =

∵0＜ ＜1

∴1﹣ ∈（0，1），即Tn＜1對(duì)于一切正整數(shù)n均成立．

【解析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得當(dāng)n≥2時(shí)an=2n，再驗(yàn)證n=1時(shí)，a1=2×1=2也適合，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）裂項(xiàng)得 = ﹣ ，由此可得前n項(xiàng)和為Tn=1﹣ ＜1，再結(jié)合 ∈（0，1），不難得到Tn＜1對(duì)于一切正整數(shù)n均成立．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握前n項(xiàng)和公式：才能正確解答此題．