Question

記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=a，，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時，數(shù)列{x_n}的前3項依次為5，3，2；
②對數(shù)列{x_n}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時總有x_n=x_k；
③當(dāng)n≥1時，；
④對某個正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，則．
其中的真命題有    ．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

【答案】分析：按照給出的定義對四個命題結(jié)合數(shù)列的知識逐一進行判斷真假，①列舉即可；②需舉反例；③可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；④可由歸納推理判斷其正誤
解答：解：①當(dāng)a=5時，x₁=5，
，
，
∴①正確．
②當(dāng)a=8時，x₁=8，




∴此數(shù)列從第三項開始為3，2，3，2，3，2…為擺動數(shù)列，故②錯誤；
③當(dāng)n=1時，x₁=a，∵a-（）=＞0，∴x₁=a＞成立，
假設(shè)n=k時，，
則n=k+1時，，
∵≥≥，
∴＞
∴對任意正整數(shù)n，當(dāng)n≥1時，；③正確；
④∵≥x_k，
由數(shù)列①②規(guī)律可知一定成立
故正確答案為①③④
點評：本題主要考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，難度較大，需有較強的推理和思維能力