Question

已知函數f（x）=x³-3x+1，g(x)=(

1

2

)x-m，若對?x₁∈[-1，3]，?x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），則實數m的取值范圍是

m≥

5

4

．

Answer 1

分析：要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，利用函數的單調性，可求最值，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，
函數f（x）=x³-3x+1．求導得f′（x）=3x²-3x=3（x-1）（x+1）
∴函數f（x）在[-1，1]上，f′（x）＜0，函數為單調減函數，
在[1，3]上，f′（x）＞0，函數為單調增函數，
∴x=1時，函數取得最小值為f（1）=-1，
∵g(x)=(

1

2

)x-m在[1，2]上是減函數，∴g（x₂）_min=g（2）=

1

4

-m，
∴-1≥

1

4

-m，即m≥

5

4

．
故答案為：m≥

5

4

．

點評：本題考查函數恒成立問題，解決的常用方法是轉化為函數的最值問題進行處理．，考查學生邏輯思維，分析解決問題的能力．要使命題成立需滿足f（x₁）_min≥g（x₂）_min，是解題的關鍵，屬于中檔題．