Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率e，左焦點(diǎn)F₁；
（Ⅱ）已知P是橢圓上一點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的方程及性質(zhì)直接求解．
（Ⅱ）由橢圓的定義知$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=2\sqrt{2}$①，勾股定理，得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²②，①²-②，得|PF₁|•|PF₂|即可．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$知a²=2，b²=1，則$a=\sqrt{2}，b=1$，故c=1---（2分）
所以橢圓C的長(zhǎng)軸$2a=2\sqrt{2}$，短軸2b=2，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左焦點(diǎn)F₁（-1，0）．（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得$a=\sqrt{2}$，b=1，c=1．
由橢圓的定義知$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=2\sqrt{2}$①，-----------------------------（8分）
在Rt△PF₁F₂中，由勾股定理，得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²②，①²-②，
得2|PF₁|•|PF₂|=8-4=4，--------------------------------------（10分）
∴|PF₁|•|PF₂|=2，∴S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×2=1．----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程及焦點(diǎn)三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題．