Question

拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點、離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁的一個交點為P．
（1）當m=1時求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過橢圓C₂的右焦點F₂與拋物線L₁交于A₁，A₂兩點．如果弦長|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求直線L的斜率；
（3）是否存在實數(shù)m，使△PF₁F₂的邊長是連續(xù)的自然數(shù)．

Answer 1

分析：（1）m=1時，求出焦點坐標以及a，b 的值，寫出橢圓方程．
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，用點斜式設出直線L的方程，代入拋物線方程化簡，
得到根與系數(shù)的關系，代入弦長公式求出斜率 k的值．
（3）假設存在實數(shù)m，經(jīng)分析在△PF₁F₂中|PF₁|最長，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，則|PF₁|=2m+1，
|PF₂|=2m-1，把P(m-1，

4m(m-1)

)代入橢圓方程求出m值．

解答：解：（1）m=1時，拋物線C₁：y²=4x，焦點為F₂ （1，0）． 由于橢圓離心率e=

1

2

，c=1，
故 a=2，b=

3

，故所求的橢圓方程為  

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，設直線L的斜率為k，則直線L的方程為 y-0=k（x-2），
代入拋物線C₁：y²=4x 化簡得 k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，∴x1+x2= 4+

4

k2

，x₁x₂=4，
∴|A₁A₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2- 4x1x2

=

1+k2

 

( 4+ 4 k2 )2-4×4

=6，解得  K=±

2

．
（3）假設存在實數(shù)m，△PF₁F₂的邊長是連續(xù)自然數(shù)，經(jīng)分析在△PF₁F₂中|PF₁|最長，|PF₂|最短，令|F₁F₂|=2c=2m，
則|PF₁|=2m+1，|PF₂|=2m-1． 由拋物線的定義可得|PF₂|=2m-1=x_P-（-m），∴x_P=m-1．
把P(m-1，

4m(m-1)

)代入橢圓

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，解得m=3．故存在實數(shù)m=3 滿足條件．

點評：本題考查拋物線和橢圓的標準方程和簡單性質(zhì)，弦長公式的應用，設出，△PF₁F₂的邊長是解題的難點．