橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y=
3
(x+c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于______．
如圖所示，

精英家教網(wǎng)
由直線y=
3
(x+c)可知傾斜角α與斜率
3
有關(guān)系
3
=tanα，∴α=60°．
又橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)滿足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．
設(shè)|MF2|=m，|MF1|=n，則
m2+n2=(2c)2
m+n=2a
m=
3
n
，解得
c
a
=
3
-1．
∴該橢圓的離心率e=
3
-1．
故答案為
3
-1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)直線l：y=k（x-1）過(guò)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，
3
），離心率為
1
2
，經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且
MA
=λ
AF
，
MB
=μ
BF
，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l：y=x+k經(jīng)過(guò)橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1，(a＞1)的右焦點(diǎn)F2，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，試求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•臨沂一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)為A、B，離心率為
3
2
，直線x-y+l=0經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=-
10
3
分別交于M，N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段MN長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）當(dāng)線段MN長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAS的面積為l？若存在，確定點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過(guò)點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過(guò)⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓．C1：x2+y2=
4
5
，直線l：y=x+m（m＞0）與圓C1相切，且交橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1兩點(diǎn)，c是橢圓C2的半焦距，c=
3
b．
（l）求m的值；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
OA1
⊥
OB1
，求橢圓的方程；
（3）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)橢圓C2的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，動(dòng)點(diǎn)S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直線AS，BS與直線x=
34
15
分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度的最小值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案