Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

4cosθ

sin2θ

，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可把ρ=

4cosθ

sin2θ

即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程；消去參數(shù)t，即可得出直線的普通方程；
（II）把直線方程與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：（ I） 由ρ=

4cosθ

sin2θ

得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x；
由

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得x+y-1=0；
曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x；直線l的普通方程x+y-1=0；
（ II） 設(shè)直線l交曲線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x+y-1=0 y2=4x

，消去y得，x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1；
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

×

36-4

=8，
∴直線l被曲線C截得的線段AB的長為8．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線方程與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．