Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=x-lnx-$\frac{4}{3}$，則函數(shù)y=f（x）（　　）

• A． 在區(qū)間（$\frac{1}{e}，1$），（1，e）內(nèi)均有零點(diǎn)
• B． 在區(qū)間（$\frac{1}{e}，1$），（1，e）內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)
• C． 在區(qū)間（$\frac{1}{e}，1$）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)
• D． 在區(qū)間（$\frac{1}{e}，1$）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在（$\frac{1}{e}，1$），（1，e）上均為單調(diào)函數(shù)，結(jié)合f（$\frac{1}{e}$）＞0，f（1）＜0，f（e）＞0得答案．

解答 解：由f（x）=x-lnx-$\frac{4}{3}$，得f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}，1$），（1，e）上均為單調(diào)函數(shù)，
又$f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}-ln\frac{1}{e}-\frac{4}{3}=\frac{1}{e}+1-\frac{4}{3}=\frac{1}{e}-\frac{1}{3}＞0$，f（1）=1-ln1-$\frac{4}{3}$=$-\frac{1}{3}$＜0，f（e）=e-lne-$\frac{4}{3}$=e-$\frac{7}{3}$＞0，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}，1$），（1，e）內(nèi)均有零點(diǎn)，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理，是中檔題．