Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，AA₁=2，F(xiàn)是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值的大��；
（2）求證：直線EF不可能與直線EA垂直．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出=（1，3，-2），平面D₁AC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值；
（2）假設(shè)EF⊥EA，則，由此可得方程，判斷方程無(wú)解，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（2，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），E（0，，2），F(xiàn)（1，4，0），則

當(dāng)時(shí)，E（0，1，2），=（1，3，-2），設(shè)平面D₁AC的法向量為，則
由，可得，所以可取
∴cos===
∴直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值為；
（2）證明：假設(shè)EF⊥EA，則
∵=（2，-，-2），=（1，4-，-2），
∴2-（4-）+4=0
∴3λ²-2λ+3=0
∵該方程無(wú)解，∴假設(shè)不成立，即直線EF不可能與直線EA垂直．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面角，考查線線位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法解決立體幾何問(wèn)題．