Question

在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的對邊，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

（1）求角B的大��；
（2）若b=2

3

，求△ABC面積最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0，得到cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，將b及cosB的值代入，并利用基本不等式變形后得出ac的最大值，然后再利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將ac的最大值及sinB的值代入，即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：（1）由

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
又0＜A＜π，∴sinA≠0，則cosB=-

1

2

，
又B為三角形的內(nèi)角，∴B=

2π

3

；
（2）∵b=2

3

，cosB=cos

2π

3

=-

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即12=a²+c²+ac≥3ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

（當(dāng)且僅當(dāng)ac時取等號），
則△ABC面積最大值為

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，基本不等式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．